Pentru Dosarul de față, Ioana Moroșan m-a invitat să scriu „un text despre cum putem reduce lumea la cifre, ce ne poate explica matematica și unde se întîlnesc matematica și filosofia”. Mă bucură orice invitație de a scrie la Dilema, cu atît mai mult din partea cuiva care scrie „filosofie”, cu s, acum însă tema îmi și surîdea – chiar malițios.
Să mă explic. Pentru nematematicieni, matematica e despre cifre – despre numere, de fapt. Or, lucrurile stau mult diferit. Pe scurt, matematica nu e – mai bine zis, nu mai e – despre numere, ci despre concepte și despre legăturile mai mult sau mai puțin ascunse dintre ele. Ceea ce o apropie de filosofie.
Detaliez. Sigur că de la numere s-a plecat: matematica a apărut din nevoia de a măsura, de a calcula, ca unealtă în sprijinul altor activități și discipline. Dar în practica ei, încă de la începuturi, s-a strecurat și o doză de joc, de enigmistică, dacă vreți, de sfidare intelectuală. Care, alimentată de curiozitate pură, a dus treptat la abstractizare. Probabil că primii care trec decis granița dintre utilitate, publică sau nu, și gratuitate mînată de curiozitate intelectuală sînt grecii. Ei aduc rigoare în raționament, aduc definiții și demonstrații argumentate ale enunțurilor, aduc structură și creează punți, chiar dacă nu explicite, între matematică și filosofie. De la ei a pornit schimbarea – care a durat enorm de mult timp. Tocmai curiozitatea gratuită e cea care a dezvoltat matematica și făcut-o s-o ia mult înaintea științelor aplicate. Practicienii matematicii au căutat să înțeleagă proprietăți ale numerelor și ale altor obiecte specifice pe care uneori chiar ei le defineau fără să-și pună tot timpul problema aplicațiilor, fără să vrea să rezolve întotdeauna o problemă concretă, ci fascinați de puterea raționamentului. Ceea ce nu înseamnă că multe progrese nu s-au făcut și din necesități practice – exemplul școală e pasul uriaș făcut prin inventarea a ceea ce azi numim analiză matematică de către Newton, ca să rezolve probleme de mecanică.
Poate părea contraintuitiv, dar, de multe ori, ca să rezolvi o problemă concretă e nevoie s-o plasezi într-un grad mai mare de generalitate, complicînd-o aparent, de fapt scăpînd de detaliile contingente nesemnificative. E un principiu care funcționează bine în matematică și despre care cred că a dus la trecerea menționată, de la numere la concepte ca obiecte de studiu. Printre primii care au făcut asta în mod asumat, ca să înțeleagă natura obiectelor matematice, a fost Niels Abel – o spune Federigo Enriques, unul dintre corifeii școlii italiene de geometrie algebrică. Să dau și un exemplu clasic: căutînd să rezolve ecuații polinomiale, Évariste Galois ajunge să reformuleze problema în termenii unei noțiuni mult mai generale și abstracte, pe care el o intuiește și pe care azi o numim grup. Este o mulțime în care elementele pot fi combinate într-o manieră care imită proprietățile adunării, putînd lipsi însă comutativitatea. În destul de scurt timp – zeci de ani – noțiunea aceasta migrează spre centrul matematicii și își dovedește ubicuitatea și utilitatea. În 1872, de pildă, cînd lumea matematică asimilase deja geometriile neeuclidiene, Felix Klein, prin articolul cunoscut drept Programul de la Erlangen, schimbă radical însăși definiția geometriei: din studiul mărimilor obiectelor dintr-un anume spațiu, concret sau abstract, ea devine studiul unei perechi formate dintr-un spațiu abstract și un grup care acționează asupra lui, proprietățile geometrice fiind acelea invariante la acțiunea grupului. Ați înțeles ceva? Bun. Nici nu e ușor de înțeles – grupurile apar abia la sfîrșitul liceului, acțiunile lor pe mulțimi abia în facultate. Ideea generală, însă, e ușor de prins. Să luăm geometria euclidiană. Să spunem că sîntem interesați de proprietățile de măsură ale figurilor geometrice (măsură a unghiurilor, lungime a segmentelor, arii, volume). Toate se păstrează (sînt invariante) atunci cînd rotim, simetrizăm sau translatăm figurile respective. Aici, grupul e cel al rotațiilor, simetriilor și translațiilor, iar acțiunea asupra punctelor spațiului e clară: un punct se rotește (față de un centru dat), se simetrizează (față de un centru sau o dreaptă), se translatează, ori e supus acțiunii combinate a două sau mai multe dintre acestea, într-o ordine sau alta. În general, spațiul devine abstract, e o mulțime, finită sau infinită, înzestrată cu cîteva proprietăți simple, de natură geometrică sau, scuzați, topologică, iar grupul, finit sau infinit, e și el abstract. Ceea ce contează nu mai e ce anume sînt, concret, elementele spațiului, ci care sînt relațiile dintre ele, și cum se modifică aceste relații cînd acționează grupul. Contează deci structura spațiului și structura grupului care acționează. Pare o complicație inutilă, dar, în fapt, a permis înțelegerea a ceea ce este comun în mulțimea de geometrii apărute în secolul al XIX-lea și a trasat direcția cercetărilor ulterioare. Întreaga matematică modernă e acum gîndită în asemenea termeni de structuri (algebrice, analitice…).
Asemenea treceri spre concept au permis observarea unității matematicii. Unul dintre cele mai importante nume ale matematicii, recent evocat într-o splendidă conferință la Academia Română de profesorul Gavril Farkas, de la Universitatea Humboldt (Berlin), este Bernhard Riemann. Cu introducerea noțiunilor numite azi varietate diferențiabilă (Mannifaltigkheit la el) de dimensiune arbitrară și suprafață Riemann, el a unit analiza, algebra și geometria, anticipînd și nașterea topologiei.
În secolul XX, deplasarea dinspre număr (concret) spre concept (abstract) s-a accelerat în toate ramurile matematicii – primele nume care vin în minte sînt Poincaré, David Hilbert, Emmy Noether –, culmea atingînd-o, în anii 1950-60, Alexandre Grothendieck care a schimbat fața geometriei algebrice și a întregii matematici.
Mai e nevoie să argumentez de ce matematica e mai apropiată de filosofie și nu de științele experimentale? Matematica și filosofia au în comun practica operării cu concepte abstracte, a raționamentului general și, da, a speculației. Ceea ce le deosebește este rigoarea. Matematica are nevoie de definiții foarte precise care să limiteze speculația și să orienteze intuiția. Matematica e o combinație destul de greu de descifrat între intuiție și formalism, dar ce e limpede e că intuiția e specifică și e, pe de o parte, alimentată, pe de o alta, îngrădită de întreg corpul de cunoștințe matematice. Nu poți specula orice, nu poți intui orice și oricum, ai mereu în minte un (contra)exemplu, un rezultat anterior care-ți spune că nu poți construi orice vrea mintea – și, de cele mai multe ori, mintea nici nu vrea să speculeze ori să construiască ce nu se poate. Dimpotrivă, filosofia operează și cu concepte vagi (bine, frumos, valoare, milă, dragoste), greu, de nu imposibil, de definit formal. Ceea ce permite o libertate uriașă în speculație. Din fericire pentru filosofi, noțiuni ca acelea studiate de ei nu se lasă tratate matematic – ar fi și mare păcat s-o facă.
Merită spus și că, meditînd la și operînd cu concepte atît de abstracte, unii matematicieni ajung natural să-și pună probleme de ordin filosofic. Poincaré e un bun exemplu, el a și scris lucrări care azi pot fi așezate pe raftul de „filosofia matematicii”, închizînd, după mintea mea, disputa artificial menținută dintre intuiție și formalism. Dar și Hermann Weyl și, înaintea lor, Gauss și Riemann, chiar dacă nu au scris explicit filosofie. Poncelet își explică (greu de înțeles…) geometria proiectivă prin argumente mai degrabă filosofice decît matematice. Și, din nou, inconturnabil, Alexandre Grothendieck.
La fel ca filosofia, matematica deslușește o parte din funcționarea lumii. Poate chiar din funcționarea creierului uman. Pentru credincioși, este și o cale de a se apropia de rațiunea creatorului. Matematica rezolvă, evident, și probleme practice, foarte concrete. Fără o matematică abstractă, cea a varietăților diferențiabile, introdusă de Riemann și perfecționată de Levi-Civita și alții, nu există teoria relativității a lui Einstein, iar fără teoria relativității nu există zboruri spre Lună, nici GPS. Fără grupurile lui Galois și fără teoria curbelor algebrice inițiată de școala italiană în secolul al XIX-lea, nu există teoria modernă a numerelor, iar fără teoria modernă a numerelor nu există criptografie, nici ATM, POS și Internet banking. Fără teoria probabilităților, a grupurilor Lie (care țin de geometria diferențială inițiată de Gauss și Riemann) și fără teoria operatorilor și a spațiilor Hilbert, nu există mecanică cuantică. Fără întreaga analiză matematică abstractă, așa cum a fost ea fundamentată în secolul al XIX-lea de Augustin Cauchy și Karl Weierstrass, nu există teoria ecuațiilor cu derivate parțiale, fără de care nu există fizica matematică, nu există avioane cu reacție și nici înțelegerea curgerii și a presiunii sîngelui în artere. Pot continua (aproape) la nesfîrșit. Aplicații ca acestea, foarte concrete, de multe ori la firul ierbii, sînt posibile pentru că matematica și-a luat libertatea să inventeze concepte îngrozitor de abstracte despre care majoritatea nematematicienilor cred că nu folosesc la nimic. Tocmai aceste nobles inutilités ne ajută să înțelegem și, uneori, să stăpînim lumea.
Cu siguranță, însă, lumea nu va putea fi cunoscută numai cu ajutorul matematicii. Cred că nici cu al filosofiei. Oricum, nu cu matematica de azi. Michael Gromov, un matematician de-o originalitate ieșită din comun, cu contribuții absolut remarcabile în geometrie și topologie, se ocupă de mulți ani de biologie, de aplicarea matematicii în biologie pentru a descifra viul. Părerea lui e că ne trebuie o altă matematică – cea pe care o știm azi nu e suficientă, spune el, pentru a modela viul.
Cu atît mai mult, ca să-i răspund Ioanei Moroșan, viul făcînd parte din lume, atunci lumea nu poate fi redusă la matematică, necum la cifre, cum spune ea, sau numere. Din fericire, zic eu.
Liviu Ornea e matematician și scriitor. Cele mai recente cărți apărute sînt Principles of Locally Conformally Kähler Geometry (cu Misha Verbitsky), la Birkhäuser, Springer Verlag, 2024 și O geometrie a tandreței (roman), la Nemira, 2024.
Foto Michael Gromov: Wikimedia Commons
