Reducerea la absurd este gambitul matematicianului. Dar, dacă șahistul riscă o piesă, matematicianul își pune în pericol întreaga partidă. Așa descria britanicul Godfrey H. Hardy demonstrația prin contradicție la începutul secolului trecut.
În matematică, absurdul este respins de înseși axiomele pe care se construiesc teoriile, fie că vorbim de aritmetică, de logică sau de geometrie. A reduce o afirmație la absurd înseamnă să arăți că ea nu este compatibilă cu regulile jocului, fiindcă duce obligatoriu la o contradicție, adică un conflict logic cu adevărul.
Formal, demonstrația unui enunț cu metoda reducerii la absurd începe cu încercarea de a accepta o alternativă: negația enunțului respectiv. De aceea, lupta matematicianului, a elevului sau a studentului este una dreaptă: reducerea la absurd nu înseamnă și diminuarea faptului de demonstrat. Argumentarea devine și un exercițiu al imaginației, filosofic aproape. Cercetătorul încearcă să facă loc absurdului în lumea sa și-i explorează formele echivalente și consecințele. Însă, dacă absurdul camusian, de exemplu, este aproape sinonim cu condiția umană, absurdul logico-matematic nu poate persista. El este eliminat de înseși condițiile de posibilitate ale matematicii – se elimină, prin reducerea la contradicție.
Una dintre primele demonstrații prin reducere la absurd îi aparține lui Euclid din Alexandria (secolele IV-III î.e.n.) și lucrează cu numere prime. Orice număr natural care nu se poate împărți exact (fără rest sau zecimale) decît la 1 și la el însuși se numește prim, iar cîteva exemplele sînt simple: 2, 3, 5, 7, 11 sau 43.
Euclid a demonstrat că mereu se va putea găsi încă un număr prim, căci mulțimea lor este infinită. Argumentul se bazează chiar pe reducerea la absurd, care pornește cu negarea enunțului de demonstrat: presupunem că numerele prime s-ar termina, deci există un ultim număr prim, iar totalitatea lor alcătuiește o listă.
Să construim acum un număr natural, prin înmulțirea tuturor numerelor prime existente (faptul că numerele naturale nu se termină niciodată era presupus cunoscut). Euclid mută apoi atenția la consecințele existenței numărului consecutiv celui construit, adică produsul tuturor numerelor prime plus unu. Cum el nu se poate împărți exact la nici unul dintre numerele prime din listă, trebuie să fie prim și, evident, nu se găsește printre cele enumerate.
La acest punct, argumentul conține simultan afirmația că am epuizat numerele prime (printr-o listă) și că am găsit încă un număr, tot prim, dar care nu e în listă. Abia aici apare contradicția, fiindcă logica nu poate accepta ca o afirmație („Toate numerele prime sînt conținute într-o listă”) și negația ei („Există un număr prim care nu se află în listă”) să coexiste. Cauza este la rădăcina argumentului: încercarea de a face posibilă finitudinea numerelor prime, gambitul de la început. Prin consecințe, această alternativă a fost redusă la absurd.
Tehnica se bazează pe un fapt fundamental din logică, terțul exclus. Cînd o afirmație se dovedește falsă, obligatoriu negația ei este adevărată – nu există o a treia variantă. De aceea, gimnastica mintală a demonstrației afirmației A prin reducere la absurd înseamnă să încerci să faci negația lui A posibilă. În fine, eșecul acestei încercări validează automat afirmația A, pentru că a treia variantă nu există.
În matematica școlară, chiar dacă rezultatele nu sînt demonstrate chiar des, elevii deprind cînd este potrivit să încerce un argument pe baza reducerii la absurd. Însă mai mult și mai important decît atît este că se familiarizează cu un lanț de consecințe ale unei afirmații care vrea să treacă drept fapt și cu condițiile de posibilitate ale acestuia.
Am observat în tot mai multe seturi de subiecte pentru examene naționale, dar și în manuale și culegeri pentru matematica de liceu (cel puțin) că enunțurile deschise au dispărut aproape complet. În locul cerințelor de forma „Verificați/Cercetați dacă...” găsesc tot mai des „Arătați că...”. Mai mult, și exercițiile cu rezultat numeric au fost reformulate de la „Calculați expresia...” la „Verificați că valoarea expresiei este...”.
Pot înțelege că aceste reformulări dau elevului siguranța că a ajuns la rezultatul corect, însă confortul acestei certitudini este rar întîlnit în situații reale și viitoare. La fel cum în științele naturii sînt esențiale experimentele, nu doar simulările, și în matematică, o problemă formulată deschis antrenează gîndirea cu mult mai mult decît un fel de reconstituire a unei concluzii deja cunoscute.
Tocmai de aceea, metoda de demonstrație prin reducere la absurd este și un exercițiu didactic altfel rar. Aprinde imaginația, stîrnește acel „Și dacă...?”, prin care testezi limitele matematicii, într-un sens direct, indiferent de nivelul de studiu. Încerci să adaugi încă o piesă construcției, încă un potențial adevăr, pe care ajungi să-l respingi abia după ce vezi, prin consecințele sale, că întreaga construcție se sprijină pe un fals.
Adrian Manea este matematician și profesor, fondator al Poligon Educational, în care îmbină educația matematică și științifică cu tehnologie, istorie, literatură și filosofie. Scrie și pe gradientul.xyz.
